本小节主要介绍傅里叶变换的理论部分。傅里叶变换是应用最广泛的一种频域变化,它能够将图像从空间域变换到频率,而逆傅里叶变换能够将频率域信息变换到空间域内。

空间域处理与频率域处理

图像处理一般分为空间域处理和频率域处理。

空间域处理是直接对图像内的像素进行处理,空间域处理主要划分为灰度变换和空间滤波两种形式,灰度变换是对图像类的单个像素进行处理,比如调节对比度和处理阈值等。空间滤波涉及图像质量的改变,例如图像平滑处理。

频率域处理是先将图像变换到频率域,然后在频率域对图像进行处理,最后再通过反变换将图像从频率域变换到空间域。

理论的趣味解释

下表所示的是某饮料的配方,该配方是一个以时间形式表示的表格,表格很长,这里仅仅截取了其中的一部分内容。该表中记录了从时刻“00:00”开始到某个特定时间“00:11”内的操作。

饮料配方

仔细分析该表格可以发现,该配方:
● 每隔1分钟放1块冰糖。
● 每隔2分钟放3粒红豆。
● 每隔3分钟放2粒绿豆。
● 每隔4分钟放4块西红柿。
● 每隔5分钟放1杯纯净水。
上述文字是从操作频率的角度对配方的说明。

在数据的处理过程中,经常使用图表的形式表述信息。如果从时域的角度,该配方表可以表示为下图所示。图中仅仅展示了配方的前11分钟的操作,如果要完整地表示配方的操作,必须用图表绘制出全部时间内的操作步骤。
配方的时域图

如果从频率(周期)的角度表示,这个配方表可以表示为下图所示,图中横坐标是周期(频率的倒数),纵坐标是配料的份数。可以看到,图中可以完整地表示该配方的操作过程。

饮料配方

数学函数角度

对于函数,同样可以将其从时域变换到频域。下图是一个频率为5(1秒内5个周期)、振幅为1的正弦曲线。

函数角度

如果从频率的角度考虑,则可以将其绘制为下图所示的频域图,图中横坐标是频率,纵坐标是振幅。

频率角度

上述两个图等价的,它们是同一个函数的不同表示形式。可以通过频域表示得到对应的时域表示,也可以通过时域表示得到对应的频域表示。
法国数学家傅里叶指出,任何周期函数都可以表示为不同频率的正弦函数和的形式。在今天看来,这个理论是理所当然的,但是这个理论难以理解,在当时遭受了很大的质疑。

例如,周期函数的曲线如下图左上角的图所示。该周期函数可以表示为:

y=3np.sin(0.8x) + 7np.sin(0.5x) + 2np.sin(0.2x)
因此,该函数可以看成是由下列三个函数的和构成的:
y1=3np.sin(0.8x)(函数1)
y2=7np.sin(0.5x)(函数2)
y3=2np.sin(0.2x)(函数3)
上述三个函数对应的函数曲线分别如上图中右上角、左下角及右下角所示。

函数曲线

如果从频域的角度考虑,上述三个正弦函数可以分别表示为下图中的三根柱子,图中横坐标是频率,纵坐标是振幅。

频域曲线

通过以上分析可知,上图中左上角的函数曲线可以表示为上图所示的频域图。
从图中左上角的时域函数图形,构造出如上图所示的频域图形的过程,就是傅里叶变换。
傅里叶变换就是从频域的角度完整地表述时域信息。

相位变化

除了上述的频率和振幅外,还要考虑时间差的问题。例如在上面的饮料配方中,为了控制风味,需要严格地控制加入配料的时间。

00:00时刻为例:

时刻表

操作 开始时间
冰糖 00:00:00
红豆 00:00:12
绿豆 00:00:28
西红柿 00:00:47
纯净水 00:00:55

对数学函数而言,就是相位:

例如,周期函数的曲线如下图左上角的图所示。该周期函数可以表示为:

y=3np.sin(0.8x) + 7np.sin(0.5x+2) + 2np.sin(0.2x+3)
因此,该函数可以看成是由下列三个函数的和构成的:
y1=3np.sin(0.8x)(函数1)
y2=7np.sin(0.5x+2)(函数2)
y3=2np.sin(0.2x+3)(函数3)


对图像进行傅里叶变换后,我们会得到图像中的低频和高频信息。低频信息对应图像内变化缓慢的灰度分量。高频信息对应图像内变化越来越快的灰度分量,是由灰度的尖锐过渡造成的。例如,在一幅大草原的图像中有一头狮子,低频信息就对应着广袤的颜色趋于一致的草原等细节信息,而高频信息则对应着狮子的轮廓等各种边缘及噪声信息。
傅里叶变换的目的,就是为了将图像从空域转换到频域,并在频域内实现对图像内特定对象的处理,然后再对经过处理的频域图像进行逆傅里叶变换得到空域图像。傅里叶变换在图像处理领域发挥着非常关键的作用,可以实现图像增强、图像去噪、边缘检测、特征提取、图像压缩和加密等。


关于傅里叶变化,可以参考文章:

如果看了这篇文章你还不懂傅里叶变换,那就过来掐死我吧



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最后修改:2022 年 05 月 27 日
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