矩阵加法和乘法是矩阵运算中最常用的操作之一。矩阵可以与向量运算,通过广播机制实现。

1、矩阵加法

矩阵加法

只有当两个矩阵的行数相同,列数相同才能进行加法运算。

矩阵的运算

矩阵减法

和加法一样,都是对应位置进行相减。同样的,要求两个矩阵的行数以及列数是相同的。

矩阵减法

运算规律

(1) A + B = B + A;

(2)( A + B ) + C = A + ( B + C );

(3)A + O = A ; A - A = O

(4) A - B= A + (- B)

O为零矩阵

2、矩阵和向量

矩阵可以和向量相加,只要它们的列数相同,相加的结果是矩阵每行与向量相加。这里的原理是广播机制,在前面也介绍过了广播机制的原理,需要回顾的自行查看。

这里,用Python来举例演示一下矩阵和向量的运算。

import numpy as np
C=np.array([[1,2,3],[4,5,6]])
b=np.array([10,20,30])
D=C+b
print(D)

运行结果:

[[11 22 33]
[14 25 36]]

3、矩阵乘法

矩阵乘法运算

  • 只有当左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数时,两个矩阵才能进行乘法运算
  • 乘积矩阵C的第i行第j列的元素 = 左边矩阵A的第i行与右边矩阵B的第j列对应元素乘积之和.

矩阵乘法运算

这里举个矩阵相乘的例子:

矩阵乘法示例

运算误区

(1).矩阵相乘一般不满足交换律.
AB ≠BA

(2).两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵.
AB=O 不能得出A =OB= O

(3).矩阵相乘一般不满足消去律.
AB = AC,不能得出B = C.

运算规律

(1) (AB)C = A(BC) 结合律;

(2) A(B+C)= AB+ AC,(B+C)A = BA +CA; 分配律

(3) a(AB)= (aA)B = A(aB)(其中a为系数);

(4) Al =IA = A; I为单位矩阵


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最后修改:2022 年 05 月 25 日
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