本节介绍向量组、线性组合、线性相关性以及秩等相关概念。这些都是线性代数里重要的基础知识。

向量组

由n个数,组成的有序数组,称之为n维向量。n表示该向量的维数。
$$
a = \begin{pmatrix}
a_{1} \\
a_{2} \\
... \\
a_{n}
\end{pmatrix}
$$

  • n维向量就是n行1列的矩阵,也称为列向量.

  • 向量的运算都按矩阵的运算规则进行运算.

  • 只有一行的矩阵称为行向量 .

线性组合

关于线性组合的运算:

线性组合

给定向量:

原始向量

对于任意一组实数:

系数

那么有系数和给定向量的组合:

组合

称之为向量组的一个线性组合。

  • 零向量可以由任意向量组线性表示.
  • 任意的n维向量必可由n维单位向量线性表示.

线性相关性

如果向量组中存在某个向量可以由组内其他向量线性表示,则称这组向量线性相关.

否则,如果向量组中任何一个向量都不能由其他向量线性表示,则称这组向量线性无关.

线性相关性的数学定义

  1. 一个向量组要么线性相关,要么线性无关。两者必居其一。
  2. .单个非零向量必然线性无关;单个零向量必然线性相关
  3. 由单位坐标向量组成的向量组,必然线性无关;
  4. 含有零向量的向量组必然线性相关

向量组的秩

假设在原向量组X(x1,x2,x3,...,xn)存在一个子向量组X0(x1,x2,...,xr),且r<n,满足:

1)x1,x2,...,xr线性无关;

2)向量组X中任意r+1个向量构成的子向量组都是线性相关的;

那么,成向量组X0是向量组X的一个最大的线性无关组。r就是向量组X的秩。

定理

定理

秩是一个重要概念,运用非常广泛,实际上矩阵我们可以看成是一个向量组。如果把矩阵看成是由所有行向量构成的向量组,这样矩阵的行秩就等于行向量组的秩;如果把矩阵看成是由所有列向量构成的向量组,这样矩阵的列秩就等于列向量组的秩。矩阵的行秩与列秩相等,因此,把矩阵的行秩和列秩统称为矩阵的秩。


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最后修改:2022 年 05 月 25 日
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